2018.1高三文科数学期末试卷(海淀区附答案)

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2018.1高三文科数学期末试卷(海淀区附答案)

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海淀区高三年级第一学期期末练习
数学(文科)  2018.1
第一部分(选择题  共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知 是虚数单位,若 ,则实数 的值为
A.         B.     C.      D. 

(2)已知 ,若 ,则
A.       B.      C.  D. 

(3)执行如图所示的程序框图,输出的 值为
A.4   
B.5    
C.6    
D.7

(4)下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次
数学测试中的选择题的成绩(单位:分,每道题5分,共8道题):
 
已知两组数据的平均数相等,则 的值分别为
A.       B.      C.      D. 

(5)已知直线 与圆 相交于 两点,且 为正三角形,则实数 的值为
A.        B.        C.  或      D.  或

(6)设,则“ ”是“直线 与直线 平行”的
A.充分不必要条件     B.必要不充分条件
C.充分必要条件       D.既不充分也不必要条件,
(7)在 中, 是 的中点,则 的取值范围是
A.  B.  C.  D. 

(8)已知正方体的 棱长为2,点 分别是棱 的中点,点 在平面 内,点 在线段 上,若 ,则 长度的最小值为
A.       B.      C.      D. 
 

第二部分(非选择题  共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则实数 的值为           .

(10)若变量 满足约束条件 ,则 的最大值是          .

(11) 中,  且 的面积为 ,则         .

(12)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中最大的值是      .
 

(13)函数 的最大值为      ;若函数 的图像与直线 有且只有一个公共点,则实数 的取值范围是      .


(14)某次高三英语听力考试中有5道选择题,每题1分,每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分:
 1 2 3 4 5 得分
甲 C C A B B 4
乙 C C B B C 3
丙 B C C B B 2
则甲同学答错的题目的题号是    ,其正确的选项是     .


三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题13分)
已知等差数列 的前 项和 ,且 .
(Ⅰ)数列 的通项公式;
(Ⅱ)若 ,求数列 前 项和.
 


(16)(本小题13分)
已知函数 .
(Ⅰ)求函数 的定义域;
(Ⅱ)求函数 的值域.


(17)(本小题14分)
据中国日报网报道:2017年11月13日,TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示,中国超算在前五名中占据两席,其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度,某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试,结果如下(数值越小,速度越快,单位是MIPS)
 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 测试6 测试7 测试8 测试9 测试10 测试11 测试12
品牌A 3 6 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14
品牌B 2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21
设 分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果,记 
(Ⅰ)求数据 的众数;
(Ⅱ)从满足 的测试中随机抽取两次,求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率;
(Ⅲ)经过了解,前6次测试是打开含有文字和表格的文件,后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据,运用所学的统计知识,对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.
 

(18)(本小题13分)
如图,三棱柱 侧面 底面 ,
  , 分别为棱 的中点.


 
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求三棱柱 的体积;
(Ⅲ)在直线 上是否存在一点 ,使得 平面 ?若存在,求出 的长;若不存在,说明理由.

 

(19)(本小题14分)
已知椭圆 ,直线 与椭圆 相交于两点 ,与 轴交于点 ,点 与点 不重合.
(Ⅰ)求椭圆 的离心率;
(Ⅱ)当 时,求椭圆 的方程;
(Ⅲ)过原点 作直线 的垂线,垂足为 .若 ,求 的值.


(20)(本小题13分)
已知函数 .
(Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程;
(Ⅱ)求证:“ ”是“函数 有且只有一个零点” 的充分必要条件.
 

海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案
数学(文科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 A D B B D C A C
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(有两空的小题第一空3分)
9. 10. 11. 或
12. 13.1 14.5 A
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.
15(本题共13分)
解:(Ⅰ)设等差数列 的首项为 ,公差为
 ,解得 , ------------------------3分
由 ,则 ------------------------5分
因此,通项公式为 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: ,则
 ------------------------7分
因为 ,------------------------8分
所以 是首项为8,公比为 的等比数列.------------------------9分
记 的前 项和为 ,则
 
 ------------------------10分
 ------------------------12分
 ---------------------13分
16(本题共13分)
解:(Ⅰ) , ------------------------2分
解得: , ------------------------3分
所以,函数的定义域为 ------------------------4分
(Ⅱ)
 ------------------------6分
 ------------------------8分
 
 
 ------------------------9分
因为 ,所以 ,
所以 ,------------------------11分
所以,函数 的值域为 .------------------------13分
17.(本题共13分)
解:(Ⅰ)
 

1 2 4 6 2 4 4 2 1 6 4 7
所以 等于1有2次, =2有3次, =4有4次, =6有2次, =7有1次,
则数据 的众数为4------------------------5分
(Ⅱ)设事件D=“品牌 的测试结果恰有一次大于品牌 的测试结果”.
满足 的测试共有4次,其中品牌 的测试结果大于品牌 的测试结果有2次即测试3和测试7,不妨用M,N表示.品牌 的测试结果小于品牌 的测试结果有2次即测试6和测试11,不妨用P,Q表示.从中随机抽取两次,共有MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ六种情况,其中事件D发生,指的是MP,MQ,NP,NQ四种情况.
故 .                        ------------------------10分
(Ⅲ)本题为开放问题,答案不唯一,在此给出评价标准,并给出可能出现的答案情况,阅卷时按照标准酌情给分.
给出明确结论,1分,结合已有数据,能够运用以下两个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由,2分.
标准1:  分别比较两种不同测试的结果,根据数据进行阐述
标准2:会用测试结果的平均数进行阐述
------------------------13分
可能出现的作答情况举例,及对应评分标准如下:
结论一:,品牌 处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些,品牌 处理器对含有文字与图片的文件的打开速度快一些。
理由如下:从前6次测试(打开含有文字与表格的文件)来看,对于含有文字与表格的相同文件,品牌 的测试有两次打开速度比品牌 快(数值小),品牌 有四次比品牌 快,从后6次测试(打开含有文字与图片的文件)来看,对于含有文字与图片的相同文件,品牌 有四次打开速度比品牌 快(数值小).
结论二:从测试结果看,这两种国产品牌处理器的文件的打开速度结论:品牌 打开文件速度快一些
理由如下:品牌 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为 ,品牌 处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为 ,所以品牌 打开文件速度快一些.(且品牌 方差较小)
其他答案情况,比照以上情况酌情给分.

18.(本题共14分)
(Ⅰ)证明:三棱柱 中,
侧面 底面 , ,
又因为侧面 底面 , 底面 ,
所以 平面 ,-----------------------3分
又因为 平面 ,
所以 ;------------------------4分
(Ⅱ)解:连接  ,因为三棱柱 中,所以 .
因为 ,所以 .又因为 ,且 .
所以△ 是边长为2的正三角形.因为 是棱 的中点,所以 ,
又因为 , ,所以 .
因为 , 底面 ,
所以 底面 .------------------------6分
所以三棱柱 的体积为
 ;  …………………………8分
(Ⅲ)在直线 上存在点 ,使得 平面 .------------------------9分
证明如下:连接 并延长,与 的延长线相交,设交点为 .连接 .
因为 ,所以 ,故 ----------------------10分
由于 为棱 的中点,所以 ,故有 ----------------------11分
又 为棱 的中点,
故 为 的中位线,所以 .------------------------12分
又 平面 , 平面 ,
所以 平面 .                                      ------------------------13分
故在直线 上存在点 ,使得 平面 .
此时 , .           -------------------------14分
 

19.(本题共14分)
解:(Ⅰ) , , ,------------------------2分
 ,故 .------------------------4分
(Ⅱ)设 ,
 ,得到 ,
依题意,由 得 .
且有 ,------------------------6分
 ,------------------------7分
原点到直线 的距离 ------------------------8分
所以 ------------------------9分
解得 >1,
故椭圆方程为 .------------------------10分
(Ⅲ)直线 的垂线为 ,------------------------11分
由 解得交点 ,------------------------12分
因为 ,又
所以 = ,故 的值为1.------------------------14分

20.(本题共13分)
解:(Ⅰ)依题意, -----------------------------1分
所以切线的斜率
又因为 ,-----------------------------2分
所以切线方程为.-----------------------------3分
(Ⅱ)先证不必要性.
当 时, ,
令 ,解得 .-----------------------------4分
此时, 有且只有一个零点,故“ 有且只有一个零点则 ”不成立.
-----------------------------5分
再证充分性.
方法一:
当 时, .
令 ,解得 .-----------------------------6分
(i)当 ,即 时, ,
所以 在 上单调增.
又 ,
所以 有且只有一个零点.-----------------------------7分
(ii)当 ,即 时,
 , 随 的变化情况如下:
极大值 
极小值 

-----------------------------8分
当 时, , ,所以 -----------------------------9分

所以 有且只有一个零点.-----------------------------10分
(说明:如果学生直接写出 时 ,要扣1分)
(iii)当 ,即 时, , 随 的变化情况如下:
极大值 
极小值 

-----------------------------11分
因为 ,所以 时, -----------------------------12分
令 ,则 .
下面证明当 时, .
设 ,则 .
当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递减
所以当 时, 取得极大值 .
所以当 时, , 即 .
所以 .
由零点存在定理, 有且只有一个零点.
综上, 是函数 有且只有一个零点的充分不必要条件.-----------------------------13分
(说明:如果学生写出下面过程, , 时 , 有且只有一个零点.要扣1分)
方法二:
当 时,注意到 时, , , ,
因此只需要考察 上的函数零点.-----------------------------7分
(i)当 ,即 时, 时, ,
 单调递增.-----------------------------8分

 有且只有一个零点.-----------------------------10分
(ii)当 ,即 时,以下同方法一.

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